Birkaç defa futbol-oyun kuramı-ekonometri konusundan bahsedeceğim. İlk seri bir üçleme ve bugün ilki. Penaltı vuruşu bir sabit toplam (sıfır toplam) iki kişilik oyundur, oyun eşzamanlıdır ve iki stratejili de olsa (2x2 matris), üç stratejili de olsa (3x3), bir (karma stratejilerde) Nash dengesi vardır. 1968 yılından beri doğrudan gole gitme (direct play) veya topa uzun süre hakim olma (possession football) stratejileri dünya kupası, Bundesliga vb verileriyle defalarca incelendiği için daha iyi biliniyor. Bu konudan ileride bahsedeceğim. Penaltı da biliniyor -zaten mükemmelen bir oyun teorisi konusu olduğu hemen görülebilir; ama "Neeskens etkisi" belki daha az biliniyor ve bir gazete yazısı için daha uygun. Önce temeller.
Penaltı oyununu önce kalecinin sağa ya da sola atladığı, oyuncunun da ya sağa ya da sola vurduğu bir oyun olarak düşünelim. salt stratejilerde denge yoktur çünkü denge en iyi cevaplarla bulunur; kaleci sola atlarsa oyuncunun sağa vurması gerekir, ama oyuncu sağa vurursa kalecinin en iyi cevabı sağa atlamaktır. Ama karma stratejilerde -sağı ya da solu seçmek eylemleri üzerinde bir olasılık dağılımı demek- daima denge vardır. Karma stratejide eylemler rassal olarak seçilir. Bu oyunda tek bir karma strateji dengesi vardır ve her oyuncuya eşit kazanma olasılığı tanır.
Sonlu oyunların karma stratejilerdeki dengesini niteleyen temel lemma bize herhangi bir oyuncunun beklenen kazancının pozitif olasılıkla seçtiği herhangi bir eylemin -penaltıyı sağa ya da sola atmak, kaleci için sağa ya da sola atlamak- beklenen getirisine eşit olduğunu söyler. Böylece beklenen getiriler (sonuçlar) yüzde 50-50 olarak dağılır; üstelik her oyuncunun seçimi diğer olası seçim(ler)e göre kayıtsızdır. Sağa atla, sola atla, sağa vur, sola vur; sonuçta beklenen getiri aynıdır. Bu elbette bir salt strateji seçilemeyeceği anlamına gelmiyor; örneğin daima sola vurmak da tekil bir oyuncu için bir strateji olabilir. Fakat rassallaşma nedeniyle olasılıklar yüzde 50-50'de kalacağı için penaltı vuruşunun oyunun kaderini tayin etmede yazı-tura atmaktan çok da farklı olmadığı düşünülmemiş değil. Bu olasılıklar gerçekte penaltıdan yüzde kaç oranında gol atıldığını söylemiyor; ex ante, yani vuruş öncesi rassal stratejilerde beklenen sonucu (getiriyi) söylüyor.
İlginç biçimde Hollandalı -ve Barcelonalı, çocukluğumuzun idollerinden- Johan Neeskens penaltı ve oyun teorisi literatürüne girmiş bulunuyor. Neeskens ortaya vurarak yeni bir oyun yapısı geliştirmiş sayılıyor. Oldukça basit: gol olursa oyuncu 1 kazansın, kaleci 0 ve tersi. Üç olasılık var: Kaleci sağa, sola atlar veya ortada durur, bekler. Oyuncu ilk durumda (a) sağa vurur, kaleci kurtarır -aynı köşeden gol yemek konusu şu an oyunun içinde değil (b) sola vurur, gol olur (c) ortaya vurur, gol olur. Olasılıklar artık asimetrik hale geldi çünkü 9 olasıılığın 6'sında gol olacak. Yani penaltıyı atan için gol atma olasılığı arttı ve beklenen getiriler kaleci için 1/3, oyuncu için 2/3 haline geldi. 1974 Dünya Kupası finalinin ikinci dakikasında baş idolümüz Johan Cruyff alman sağbeki Berti Vogts tarafından düşürülmüştü. Penaltıyı Neeskens ortaya attı ve gol oldu. Bu andan itibaren Neeskens-Variante adıyla anılan penaltı atış opsiyonunun mucidi sayılıyor. İki yıl sonra Avrupa Şampiyonası finalinde Çek Antonin Panenka topu ortaya atarak Sepp Maier'i bir kez daha avladığında, vuruşun yumuşaklığı hariç, strateji aynıydı. Çekoslovakya kalecisinin bir gün önce kendisini uyardığı ve "sakın ortaya atma, bu büyük ukalalıktır" dediği bildiriliyor. Komünist olmadığı aşikar olan Panenka da "Maier kımıldamasaydı beni 25 yıllığına fabrika işçisi yaparlardı" demiş bulunuyor.
Aslında literatürün köşe taşlarından olan bir çalışmada oyuncunun da, kalecinin de köşeleri ortaya tercih ettiği, fakat kalecinin ortayı penaltı atıcısına göre daha az tercih ettiği bulgusu elde edilmiş durumda. 1997-2000 arası Almanya ve Fransa liglerinde atılan 459 penaltıyı inceleyen Chiappori et al (2002) ortaya vurmanın yüzde 81 ile en yüksek gol yapma olasılığına sahip olduğunu saptıyor.
O zaman neden herkes ortaya vurmuyor? Veya neden kaleciler daima yerlerinde sabit kalmıyor? Bundesliga penaltıları Neeskens sonrası penaltı vuruşlarında gol oranının yüzde 69'dan yüzde 77'ye yükseldiğini gösteriyorsa da bu veri bir yapısal kırılmaya işaret etmekten ziyade, bir trend gösteriyor. Ya Neeskens etkisi zamanla yavaşça yayılarak vuruş tekniğinde değişikliğe yol açtı; ya da gol oranının artması antrenman, ekipman, penaltı atışıyla sonucun tayin edilidiği maçların artmasıyla vuruşa daha fazla önem verilmesi vb faktörlere dayanıyor. Nihayetinde penaltının nasıl atıldığı veya kurtarıldığıyla ilgili algılar da salt stratejlerin seçiminde etkili olabiliyor ve algıların da hesaba katılması lazım -doksana taktı veya tam köşeden kurtardı gibi. Haftaya: Profesyoneller gerçekten de minimax mı oynar?